# BFM 维基百科翻译 ## Bellman–Ford算法维基百科，自由的百科全书[跳转到导航](https://en.wikipedia.org/wiki/Bellman%E2%80%93Ford_algorithm#mw-head)[跳转到搜索](https://en.wikipedia.org/wiki/Bellman%E2%80%93Ford_algorithm#p-search) | Bellman–Ford算法 | | | ------------------------------------------------------------------------- | ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | | 类 | [单源最短路径问题](https://en.wikipedia.org/wiki/Single-source_shortest_path_problem)（针对加权有向图） | | 数据结构 | [图形](https://en.wikipedia.org/wiki/Graph_\(data_structure\)) | | [最坏情况下的表现](https://en.wikipedia.org/wiki/Best,_worst_and_average_case) | {\ displaystyle \ Theta（\| V \|\| E \|）}![{\ displaystyle \ Theta（\| V \|\| E \|）}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0465422c67bedf2d1659571f5797b3c9c54ed9ad) | | [最佳情况下的表现](https://en.wikipedia.org/wiki/Best,_worst_and_average_case) | {\ displaystyle \ Theta（\| E \|）}![{\ displaystyle \ Theta（\| E \|）}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fee8b4657c1eb491bc9d05378522ddc12ddac5fc) | | [最坏情况下的空间复杂度](https://en.wikipedia.org/wiki/Best,_worst_and_average_case) | {\ displaystyle \ Theta（\| V \|）}![{\ displaystyle \ Theta（\| V \|）}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6859084635373622fc54329d559928d0d564d42) | |

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| | 相关话题 | |

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| 的**Bellman-Ford算法**是一种[算法](https://en.wikipedia.org/wiki/Algorithm)，其计算[的最短路径](https://en.wikipedia.org/wiki/Shortest_path)从单一来源[顶点](https://en.wikipedia.org/wiki/Vertex_\(graph_theory\))到所有其他顶点的[加权有向图](https://en.wikipedia.org/wiki/Weighted_digraph)。[\[1\]](https://en.wikipedia.org/wiki/Bellman%E2%80%93Ford_algorithm#cite_note-Bang-1)对于相同的问题，它比[Dijkstra的算法](https://en.wikipedia.org/wiki/Dijkstra's_algorithm)慢，但用途更多，因为它能够处理某些边权重为负数的图形。该算法最初由Alfonso Shimbel（[1955](https://en.wikipedia.org/wiki/Bellman%E2%80%93Ford_algorithm#CITEREFShimbel1955)）提出，但取而代之的是分别由[Richard Bellman](https://en.wikipedia.org/wiki/Richard_Bellman)和[Lester Ford Jr.](https://en.wikipedia.org/wiki/L._R._Ford_Jr.)分别在[1958年](https://en.wikipedia.org/wiki/Bellman%E2%80%93Ford_algorithm#CITEREFBellman1958)和[1956](https://en.wikipedia.org/wiki/Bellman%E2%80%93Ford_algorithm#CITEREFFord1956)年发布的。[\[2\]](https://en.wikipedia.org/wiki/Bellman%E2%80%93Ford_algorithm#cite_note-Schrijver-2) [爱德华·F·摩尔（Edward F. Moore）](https://en.wikipedia.org/wiki/Edward_F._Moore)也在1957年发布了相同的算法，因此有时也称为**Bellman-Ford-Moore算法**。[\[1\]](https://en.wikipedia.org/wiki/Bellman%E2%80%93Ford_algorithm#cite_note-Bang-1) 在图形的各种应用中发现了负边缘权重，因此该算法很有用。[\[3\]](https://en.wikipedia.org/wiki/Bellman%E2%80%93Ford_algorithm#cite_note-FOOTNOTESedgewick2002-3) 如果图形包含从源头可以到达的“负循环”（即边的总和为负值的[循环](https://en.wikipedia.org/wiki/Cycle_\(graph_theory\))），则没有最便宜的路径：在负循环上有点的任何路径都可以绕负周期再[走一圈](https://en.wikipedia.org/wiki/Walk_\(graph_theory\))，使价格更便宜。在这种情况下，Bellman-Ford算法可以检测并报告负循环。[\[1\] ](https://en.wikipedia.org/wiki/Bellman%E2%80%93Ford_algorithm#cite_note-Bang-1)[\[4\]](https://en.wikipedia.org/wiki/Bellman%E2%80%93Ford_algorithm#cite_note-FOOTNOTEKleinbergTardos2006-4) ### 内容 * [1种算法](https://en.wikipedia.org/wiki/Bellman%E2%80%93Ford_algorithm#Algorithm) * [2正确性证明](https://en.wikipedia.org/wiki/Bellman%E2%80%93Ford_algorithm#Proof_of_correctness) * [3寻找负周期](https://en.wikipedia.org/wiki/Bellman%E2%80%93Ford_algorithm#Finding_negative_cycles) * [4路由应用](https://en.wikipedia.org/wiki/Bellman%E2%80%93Ford_algorithm#Applications_in_routing) * [5项改进](https://en.wikipedia.org/wiki/Bellman%E2%80%93Ford_algorithm#Improvements) * [6琐事](https://en.wikipedia.org/wiki/Bellman%E2%80%93Ford_algorithm#Trivia) * [7笔记](https://en.wikipedia.org/wiki/Bellman%E2%80%93Ford_algorithm#Notes) * [8参考](https://en.wikipedia.org/wiki/Bellman%E2%80%93Ford_algorithm#References) * [8.1原始资料](https://en.wikipedia.org/wiki/Bellman%E2%80%93Ford_algorithm#Original_sources) * [8.2次要来源](https://en.wikipedia.org/wiki/Bellman%E2%80%93Ford_algorithm#Secondary_sources) ### 算法\[ [编辑](https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Bellman%E2%80%93Ford_algorithm\&action=edit\§ion=1)] [![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/85/Bellman-Ford_worst-case_example.svg/220px-Bellman-Ford_worst-case_example.svg.png)](https://en.wikipedia.org/wiki/File:Bellman-Ford_worst-case_example.svg)在此示例图中，假设A是源，并且以从右到左的最差顺序处理边缘，则需要使用| V | -1或4次迭代，以使距离估计收敛。相反，如果按从左到右的最佳顺序处理边缘，则算法将在一次迭代中收敛。像[Dijkstra的算法](https://en.wikipedia.org/wiki/Dijkstra's_algorithm)一样，Bellman-Ford通过[松弛进行](https://en.wikipedia.org/wiki/Relaxation_\(iterative_method\))，其中将正确距离的近似值替换为更好的近似值，直到最终找到解。在这两种算法中，到每个顶点的近似距离始终是真实距离的高估，并被其旧值的最小值和新找到的路径的长度所替代。但是，Dijkstra的算法使用[优先级队列](https://en.wikipedia.org/wiki/Priority_queue)来[贪婪地](https://en.wikipedia.org/wiki/Greedy_algorithm)选择尚未处理的最接近的顶点，并在其所有出站边缘执行此松弛过程。相比之下，Bellman-Ford算法只是放松所有边缘，然后执行此操作{\ displaystyle | V | -1}![| V | -1](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6407482f919e956e1d22eb304c73a841e395e436) 时间，在哪里 {\ displaystyle | V |}![| V |](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ddcffc28643ac01a14dd0fb32c3157859e365a7)是图中的顶点数。在每个重复中，具有正确计算出的距离的顶点数量会增加，由此得出的结论是所有顶点最终都将具有正确的距离。与Dijkstra相比，此方法允许将Bellman-Ford算法应用于更广泛的输入类别。贝尔曼-福特参加 {\ displaystyle O（| V | \ cdot | E |）}![O（| V | \ cdot | E |）](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93b30ae8ec84ab14193f0b6a384c39e796c80545) [时间](https://en.wikipedia.org/wiki/Big_O_notation)，地点{\ displaystyle | V |}![| V |](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ddcffc28643ac01a14dd0fb32c3157859e365a7) 和 {\ displaystyle | E |}![| E |](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8c2b9637808cf805d411190b4ae017dbd4ef8d8) 分别是顶点和边的数量。 ``` function BellmanFord(list vertices, list edges, vertex source) is ::distance[], predecessor[] // This implementation takes in a graph, represented as // lists of vertices and edges, and fills two arrays // (distance and predecessor) about the shortest path // from the source to each vertex // Step 1: initialize graph for each vertex v in vertices do distance[v] := inf // Initialize the distance to all vertices to infinity predecessor[v] := null // And having a null predecessor distance[source] := 0 // The distance from the source to itself is, of course, zero // Step 2: relax edges repeatedly for i from 1 to size(vertices)−1 do //just |V|−1 repetitions; i is never referenced for each edge (u, v) with weight w in edges do if distance[u] + w < distance[v] then distance[v] := distance[u] + w predecessor[v] := u // Step 3: check for negative-weight cycles for each edge (u, v) with weight w in edges do if distance[u] + w < distance[v] then error "Graph contains a negative-weight cycle" return distance[], predecessor[] ``` 简而言之，该算法将到源的距离初始化为0，将所有其他节点的距离初始化为无穷大。然后，对于所有边缘，如果可以通过抓住边缘来缩短到目的地的距离，则该距离将更新为新的较低值。在每次迭代中我其边缘扫描时，算法找到至多长度的所有最短路径我边缘（和可能的一些路径长于我边缘）。由于没有循环的可能的最长路径是{\ displaystyle | V | -1}![| V | -1](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6407482f919e956e1d22eb304c73a841e395e436) 边缘，必须扫描边缘 {\ displaystyle | V | -1}![| V | -1](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6407482f919e956e1d22eb304c73a841e395e436)时间以确保找到所有节点的最短路径。对所有边缘进行最终扫描，如果更新了任何距离，则为长度路径{\ displaystyle | V |}![| V |](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ddcffc28643ac01a14dd0fb32c3157859e365a7) 已发现只有在图形中至少存在一个负循环时才会出现边沿。 ### 正确性证明\[ [编辑](https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Bellman%E2%80%93Ford_algorithm\&action=edit\§ion=2)] | [![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/thumb/9/99/Question_book-new.svg/50px-Question_book-new.svg.png)](https://en.wikipedia.org/wiki/File:Question_book-new.svg) |

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（2019年3月）（了解如何以及何时删除此模板消息）

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第二个E b包含边（v i，v j），使得i > j。每个顶点按v 1，v 2，...，v |的顺序访问。V |，从E f的那个顶点放宽每个输出边缘。然后按v | |的顺序访问每个顶点。V | ，v | V | −1，...，v 1，从E b中的那个顶点放宽每个输出边缘。在第一个迭代之后，算法主循环的每次迭代都会在其松弛距离与正确的最短路径距离匹配的一组边缘中至少添加两个边缘：一个来自E f，一个来自E b。此修改从|减少了算法主循环的最坏情况迭代次数。V| − 1至{\ displaystyle | V | / 2}![| V | / 2](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/969159a4606100e8bf46319874300f27fc64c9d9)。[\[5\] ](https://en.wikipedia.org/wiki/Bellman%E2%80%93Ford_algorithm#cite_note-5)[\[6\]](https://en.wikipedia.org/wiki/Bellman%E2%80%93Ford_algorithm#cite_note-Sedweb-6) [Bannister＆Eppstein（2012）的](https://en.wikipedia.org/wiki/Bellman%E2%80%93Ford_algorithm#CITEREFBannisterEppstein2012)另一项改进是用[随机置换](https://en.wikipedia.org/wiki/Random_permutation)代替了日元第二次改进中所用顶点的任意线性顺序。这种变化使Yen的改进变得最糟（最短路径的边缘在两个子集E f和E b之间严格交替）极不可能发生。使用随机排列的顶点顺序，主循环中所需的[预期](https://en.wikipedia.org/wiki/Expected_value)迭代次数最多为{\ displaystyle | V | / 3}![| V | / 3](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e464851c4b44de4d198e82c9aae50766e3b6a88c)。[\[6\]](https://en.wikipedia.org/wiki/Bellman%E2%80%93Ford_algorithm#cite_note-Sedweb-6) ### 琐事\[ [编辑](https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Bellman%E2%80%93Ford_algorithm\&action=edit\§ion=6)] 在中国，还增加了一个先入先出队列的Bellman-Ford算法，被称为算法[SPFA](https://en.wikipedia.org/wiki/SPFA)，由爱德华·摩尔在1959年，1994年出版，重新发现了Fanding段，深受谁参加学生[国家省](https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=National_Olympiad_in_Informatics_in_Provinces\&action=edit\&redlink=1) \[ [zh](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%85%A8%E5%9B%BD%E9%9D%92%E5%B0%91%E5%B9%B4%E4%BF%A1%E6%81%AF%E5%AD%A6%E5%A5%A5%E6%9E%97%E5%8C%B9%E5%85%8B%E8%81%94%E8%B5%9B) ] [省信息奥林匹克竞赛](https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=National_Olympiad_in_Informatics_in_Provinces\&action=edit\&redlink=1)和[国际大学编程竞赛](https://en.wikipedia.org/wiki/International_Collegiate_Programming_Contest)。[\[7\]](https://en.wikipedia.org/wiki/Bellman%E2%80%93Ford_algorithm#cite_note-duan-7) ### 笔记\[ [编辑](https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Bellman%E2%80%93Ford_algorithm\&action=edit\§ion=7)] 1. ^ [跳至：**a** ](https://en.wikipedia.org/wiki/Bellman%E2%80%93Ford_algorithm#cite_ref-Bang_1-0)[**b** ](https://en.wikipedia.org/wiki/Bellman%E2%80%93Ford_algorithm#cite_ref-Bang_1-1)[**c** ](https://en.wikipedia.org/wiki/Bellman%E2%80%93Ford_algorithm#cite_ref-Bang_1-2)[**d**](https://en.wikipedia.org/wiki/Bellman%E2%80%93Ford_algorithm#cite_ref-Bang_1-3) [Bang-Jensen＆Gutin（2000）](https://en.wikipedia.org/wiki/Bellman%E2%80%93Ford_algorithm#CITEREFBang-JensenGutin2000) 2. [**^**](https://en.wikipedia.org/wiki/Bellman%E2%80%93Ford_algorithm#cite_ref-Schrijver_2-0) [作者（2005）](https://en.wikipedia.org/wiki/Bellman%E2%80%93Ford_algorithm#CITEREFSchrijver2005) 3. [**^**](https://en.wikipedia.org/wiki/Bellman%E2%80%93Ford_algorithm#cite_ref-FOOTNOTESedgewick2002_3-0) [Sedgewick（2002）](https://en.wikipedia.org/wiki/Bellman%E2%80%93Ford_algorithm#CITEREFSedgewick2002)。 4. [**^**](https://en.wikipedia.org/wiki/Bellman%E2%80%93Ford_algorithm#cite_ref-FOOTNOTEKleinbergTardos2006_4-0) [Kleinberg＆Tardos（2006）](https://en.wikipedia.org/wiki/Bellman%E2%80%93Ford_algorithm#CITEREFKleinbergTardos2006)。 5. [**^**](https://en.wikipedia.org/wiki/Bellman%E2%80%93Ford_algorithm#cite_ref-5) Cormen等人，第二版，问题24-1，第614-615页。 6. ^ [跳转到：**一个**](https://en.wikipedia.org/wiki/Bellman%E2%80%93Ford_algorithm#cite_ref-Sedweb_6-0) [**b**](https://en.wikipedia.org/wiki/Bellman%E2%80%93Ford_algorithm#cite_ref-Sedweb_6-1) 见塞奇威克的[幅练习](http://algs4.cs.princeton.edu/44sp/)为算法。，第4版，演习5和12（检索二○一三年一月三十○日）。 7. 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